Small Strong Solutions for Time-dependent Mean Field Games with Local Coupling

For mean field games with local coupling, existence results are typically for weak solutions rather than strong solutions. We identify conditions on the Hamiltonian and the coupling which allow us to prove the existence of small, locally unique, strong solutions over any finite time interval in the case of local coupling; these conditions place us in the case of superquadratic Hamiltonians. For the regularity of solutions, we find that at each time in the interior of the time interval, the Fourier coefficients of the solutions decay exponentially. The method of proof is inspired by the work of Duchon and Robert on vortex sheets in incompressible fluids. Petites solutions fortes pour jeux à champ moyens avec une dépendance temporelle et un couplage local Résumé: Pour les jeux à champ moyens avec couplage local, les résultats d’existence sont typiquement obtenus pour des solutions faibles plutôt que pour des solutions fortes. Nous identifions des conditions sur le Hamiltonien et sur le couplage qui nous permettent de démontrer l’existence d’une solution forte, petite et localement unique pour tout intervalle de temps fini dans le cas d’un couplage local; ces conditions nous placent dans une situation de Hamiltonien super-quadratique. Pour la régularité des solutions, nous trouvons que, pour chaque point dans l’intérieur de l’intervalle de temps, les coefficients de Fourier des solutions décroissent exponentiellement. La preuve est inspirée par les travaux de Duchon et Robert sur les nappes de tourbillons de fluides incompressibles.